P、NP、NP-hard 和 NP-complete 是计算复杂性理论中的关键概念，用于描述不同类型的计算问题以及它们的求解难度。

P 类问题

P 类问题是指多项式时间内可以通过确定性算法解决的问题。这意味着，给定一个输入，问题可以在有限的步骤内得到解决，且步骤的数量是输入大小的多项式函数。换句话说，P 类问题的求解效率较高。例如，最短路径问题和排序问题都是 P 类问题。

NP 类问题

NP（Non-deterministic Polynomial time）类问题是指能够在多项式时间内验证解是否正确的问题。换句话说，虽然找到问题的解可能比较难，但一旦给出了解，我们可以在多项式时间内验证它是否正确。一个典型的 NP 问题是旅行商问题：找出某个城市之间的最短旅行路径可能很复杂，但给定一条路径，我们可以快速验证它是否满足要求。

NP-complete 问题

NP-complete 问题是 NP 类问题中的一种特殊类型。这类问题满足以下两个条件：

• 它是 NP 类问题，意味着给定解后可以在多项式时间内验证其正确性。
• 它是 NP 类问题中最难的问题，也就是说，如果我们能够找到某个 NP-complete 问题的多项式时间求解算法，那么所有 NP 问题都可以通过多项式时间内解决。

经典的 NP-complete 问题包括布尔可满足性问题（SAT）和哈密顿路径问题。

NP-hard 问题

NP-hard 问题是比 NP 类问题更难的一类问题。这类问题不一定属于 NP 类，即它们的解不一定能够在多项式时间内验证。例如，NP-hard 问题可以是一些更为广泛的问题（如优化问题），或者一些根本无法在多项式时间内验证解的准确性的问题。如果一个 NP-hard 问题有多项式时间的解法，那么所有 NP 问题都可以在多项式时间内解决。

P = NP 问题

计算机科学中最大的未解问题之一是P 是否等于 NP。如果 P = NP，那就意味着所有 NP 类问题实际上都可以在多项式时间内解决。然而，目前还没有证明这个命题是否成立。

O(N!)/O(2^N)算法是P还是NP？

如果一个算法的时间复杂度是 O(N!) 或 O(2^N)，它不属于 P（多项式时间）算法。以下是原因：

P（多项式时间）P 类问题可以在多项式时间内解决，即它们的时间复杂度是输入规模的某个多项式函数，例如 O(N)、O(N^2) 等。与非多项式函数相比，这些增长相对较慢。

O(N!)（阶乘时间）和 O(2^N)（指数时间）的增长速度远远快于任何多项式函数。O(N!) 增长非常快，其中 N! 是 N 的阶乘。

O(2^N) 是指数增长，随着 N 的增加，它也会变得不可计算。

由于这些复杂度比任何多项式函数的增长速度要快得多，具有这些时间复杂度的算法不属于 P 类。

它是 NP 吗？

要判断这样的算法是否属于 NP，重要的是要理解 NP 并不指问题的求解时间，而是指一旦给出解后，验证解是否正确的时间。

如果某个问题的时间复杂度为 O(N!) 或 O(2^N)，它可能属于 NP，也可能不属于，这取决于给出解后能否在多项式时间内验证。如果可以在多项式时间内验证解，那么这个问题可能属于 NP 类，尽管求解非常困难。

O(N!) 或 O(2^N) 不属于 P 类，因为求解该问题所需的时间增长速度太快，无法视为“高效”。

它是否属于 NP 取决于解能否在多项式时间内验证。如果验证过程是多项式时间的，那么该问题属于 NP 类，但并不是所有 O(N!) 或 O(2^N) 问题都在 NP 中。

总结

• P 类问题：可以在多项式时间内求解的问题。
• NP 类问题：解可以在多项式时间内验证的问题。
• NP-complete 问题：最难的 NP 问题，能够解决它就能解决所有 NP 问题。
• NP-hard 问题：不一定属于 NP 类，但至少和 NP-complete 问题一样难。

这个分类系统帮助我们理解各种问题的计算复杂性以及它们之间的关系。

英文：P versus NP problem (NP Complete, NP Hard)

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